racine(u(x))' = u'(x)/(2*racine(u(x))

Pour u(x) = x on a alors racine(x)' = x'/(2*racine(x)) = 1/(2*racine(x))

Si j'ai une suite qui verifie U_n+1=e-(n+1)U_n, comment je peux calculer un équivalent de U_n ? J'ai trové e/(n+qqch), mais je vois pas comment trouver précisément le qqch

Le 28 novembre 2023 à 21:07:45 :
Si j'ai une suite qui verifie U_n+1=e-(n+1)U_n, comment je peux calculer un équivalent de U_n ? J'ai trové e/(n+qqch), mais je vois pas comment trouver précisément le qqch

Tu peux poster l’énoncé complet de ton exo ? Car il manque peut-être des infos pour pouvoir te répondre (comme la valeur de U_0 par exemple)
Et je ne suis pas sûr de l’expression de ta suite récurrente. Est-ce que c’est U_n+1 = exp(-(n+1)*U_n) ou alors U_n+1 = exp-(n+1)) * Un ?

J'ai U_0 =1.
Et la relation c'est $u_{n+1}=e-(n+1)*u_{n}$

Le 28 novembre 2023 à 16:04:18 :
Salut tu peux me faire mon dm de math

Exercice 1.

1.a)
(4*3*2*2)/(6*5*4*3) = 2/15

1.b)
C’est 4 fois la probabilité de la question précédente donc 4*(2/15) = 8/15

2.a)
(4^3 * 2)/(6^4) = (2^3)/(3^4) = 8/81

2.b)
C’est 4 fois la probabilité de la question précédente donc 4*(8/81) = 32/81

3.a)
P1 = 2/6 = 1/3
P2 = (4*2)/(6^2) = 2/3^2 = 2/9 = (1/3)*(2/3) = P1*(2/3)
P3 = (4^2 * 2)/(6^3) = (2^2)/(3^3) = 4/27 = (2/9)*(2/3) = P2*(2/3)
Pn = (4^(n-1) * 2)/(6^n) = (2^(n-1))/(3^n) = (1/2)*(2/3)^n

3.b)
(Pn) est une suite géométrique de premier terme P1 = 1/3 et de raison q = 2/3
La somme des n premiers termes de cette suite est
Sn = P1 * (1 - q^n)/(1 - q) = (1/3) * (1 - (2/3)^n)/(1 - 2/3) = (1/3) * (1 - (2/3)^n)/(1/3) = 1 - (2/3)^n

0 < 2/3 < 1 donc la limite de Sn vaut 1

Exercice 2.

Partie A

1.
g’(x) = 1 - exp(x)
exp(0) = 1 et comme la fonction exp est croissante sur [0 ; +inf[, g’ est <= 0 sur [0 ; +inf[
Donc g est décroissante sur [0 ; +inf[

2.a)
g(0) = 2 - 1 = 1
Par croissance comparée, limite quand x tend vers +infini de g(x) = -infini
g est une somme de fonction continue sur [0 ; +inf[, donc g est continue sur cet intervalle
D’après la question 1. g est décroissante sur [0 ; +inf[
Par conséquent, il existe un unique alpha dans [0 ; +inf[ tel que g(alpha) = 0

2.b)
g(1,14) = 0,013 à 10^-3 près
g(1,14) > 0
g(1,15) = -0,008 à 10^-3 près
g(1,15) < 0
Donc 1,14 < alpha < 1,15

2.
g est positive sur [0 ; alpha]
g est négative sur [alpha ; +inf[

Partie B

1.a)
f’(x) = ((exp(x) - 1)’*(x*exp(x) + 1) - (exp(x) - 1)*(x*exp(x) + 1)’)/(x*exp(x) + 1)^2
(exp(x) - 1)’ = exp(x)
(exp(x) - 1)’*(x*exp(x) + 1) = exp(x)*(x*exp(x) + 1)
(x*exp(x) + 1)’ = exp(x) + x*exp(x) = exp(x)*(1 + x)
(exp(x) - 1)*(x*exp(x) + 1)’ = exp(x)*(exp(x) - 1)*(1 + x) = exp(x)*(exp(x) + x*exp(x) - 1 - x)
(exp(x) - 1)’*(x*exp(x) + 1) - (exp(x) - 1)*(x*exp(x) + 1)’ = exp(x)*(x*exp(x) + 1 - exp(x) - x*exp(x) + 1 + x) = exp(x)*(x + 2 - exp(x)) = exp(x)*g(x)
Donc f’(x) = (exp(x)*g(x))/(x*exp(x) + 1)^2

1.b)
exp(x) et (x*exp(x) + 1)^2 sont > 0 pour tout x dans [0 ; +inf[
Le signe de f’ est le même que le signe de g sur [0 ; +inf[
Donc, d’après la question 2. de la partie A
f’ >= 0 sur [0 ; alpha] donc f est croissante sur [0 ; alpha]
f’ <= 0 sur [alpha ; +inf[ donc f est décroissante sur [alpha ; +inf[

2.a)
1 - exp(-x) = (1/exp(x)) * (exp(x) - 1)
x + exp(-x) = (1/exp(x)) * (x*exp(x) + 1)
Donc (1 - exp(-x))/(x + exp(-x)) = exp(x)*(1/exp(x))*(exp(x) - 1)/(x*exp(x) + 1) = (exp(x) - 1)/(x*exp(x) + 1) = f(x)

2.b)
La limite en +inf de f est équivalente à la limite en +inf de 1/x qui vaut 0
La courbe C admet une asymptote horizontale d’équation y = 0

3.a)
g(alpha) = alpha + 2 - exp(alpha) = 0
<=> exp(alpha) = alpha + 2

f(alpha) = (exp(alpha) - 1)/(alpha*exp(alpha) + 1)
f(alpha) = (alpha + 1)/(alpha^2 + 2*alpha + 1)
f(alpha) = (alpha + 1)/(alpha + 1)^2
f(alpha) = 1/(alpha + 1)

3.b)
1,14 < alpha < 1,15
<=> 2,14 < alpha + 1 < 2,15
<=> 1/2,15 < 1/(alpha + 1) < 1/2,14
<=> 1/2,15 < f(alpha) < 1/2,14
0,46 < f(alpha) < 0,47 à 10^-2 près

4.
f(0) = (1-1)/(0+1) = 0
f’(0) = (1*g(0))/(0+1)^2 = g(0) = 1
f(0) + f’(0)*(x - 0) = x

(T) : y = x

5.a)
(x + 1)*u(x) = (x + 1)*(exp(x) - x*exp(x) - 1)
(x + 1)*u(x) = x*exp(x) - x^2 * exp(x) - x + exp(x) - x*exp(x) - 1
(x + 1)*u(x) = exp(x) - 1 - x*(x*exp(x) + 1)
=> ((x + 1)*u(x))/(x*exp(x) + 1) = (x + 1)/(x*exp(x) + 1) - x = f(x) - x

5.b)
u’(x) = exp(x) - exp(x) - x*exp(x)
u’(x) = -x*exp(x)
exp est positive sur [0 ; +inf[, -x est négative sur [0 ; +inf[
u est négative sur [0 ; +inf[ donc u est décroissante sur [0 ; +inf[

u(0) = 1 - 0 - 1 = 0
u est décroissante sur [0 ; +inf[ donc u est négative sur [0 ; +inf[

5.c)
La position de la courbe C par rapport à la droite (T) dépend du signe de f(x) - x (si positif, C est au dessus de (T), si négatif C est en dessous de (T))

x + 1 > 0 sur [0 ; +inf[
x*exp(x) + 1 > sur [0 ; +inf[
Le signe de f(x) - x est le même que le signe de u(x) sur [0 ; +inf[
Donc f(x) - x est négative sur [0 ; +inf[ donc C est dessous de (T) sur cet intervalle

6.
Tu traces la droite y = x puis une courbe qui croît jusqu’à f(alpha) puis décroît jusqu’à atteindre l’axe horizontale, tout en ne dépassant pas la droite y = x

Le 28 novembre 2023 à 22:29:46 :
J'ai U_0 =1.
Et la relation c'est $u_{n+1}=e-(n+1)*u_{n}$

La suite Un est dans l'exponentielle ? Si tu as le sujet, poste le directement ça sera plus simple.

Le 28 novembre 2023 à 23:42:56 :

Le 28 novembre 2023 à 22:29:46 :
J'ai U_0 =1.
Et la relation c'est $u_{n+1}=e-(n+1)*u_{n}$

La suite Un est dans l'exponentielle ? Si tu as le sujet, poste le directement ça sera plus simple.

Si le Un n'est pas à l'intérieur de l'exponentielle, c'est à dire Un+1 = exp(-(n+1))*Un, alors Un = exp(-somme pour k allant de 0 à n de k)
Ça tu peux le montrer par récurrence :
- Initialisation :
exp(-0) = 1 = U0
Ok au premier rang
- Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que Un = exp(-somme pour k allant de 0 à n de k)
Un+1 = exp(-(n+1))*Un = exp(-(n+1))*exp(-somme pour k allant de 0 à n de k) = exp(-somme pour k allant de 0 à n+1 de k)
- Conclusion :
Par récurrence, pour tout entier naturel n, Un = exp(-somme pour k allant de 0 à n de k)

Le 29 novembre 2023 à 01:13:45 :

Pas d’idée désolé
Si jamais tu trouves la solution, ça m’intéresse aussi

Bonjour j'ai un exercice pour demain est ce que tu peux me le faire

Bonjour, y aurait-il moyen de faire ce dm, pour ce soir ?
Les trois premiers exercices.

Le 03 décembre 2023 à 16:01:48 :
Bonjour j'ai un exercice pour demain est ce que tu peux me le faire

Je ne fais pas les exos de physique désolé

Le 03 décembre 2023 à 16:57:58 :

Bonjour, y aurait-il moyen de faire ce dm, pour ce soir ?
Les trois premiers exercices.

Ok, je regarderai ça ce soir

Le 03 décembre 2023 à 17:20:51 :

Le 03 décembre 2023 à 16:01:48 :
Bonjour j'ai un exercice pour demain est ce que tu peux me le faire

Je ne fais pas les exos de physique désolé

Le 03 décembre 2023 à 16:57:58 :

Bonjour, y aurait-il moyen de faire ce dm, pour ce soir ?
Les trois premiers exercices.

Ok, je regarderai ça ce soir

Merci beaucoup

Le 03 décembre 2023 à 16:57:58 :

Bonjour, y aurait-il moyen de faire ce dm, pour ce soir ?
Les trois premiers exercices.

Exercice I

1.
Soit b un réel non nul, on pose z0 = bi une solution de (E)
2*(bi)^3 + (1 - 4i)*(bi)^2 + (1 - 2i)*(bi) - 2i = 0
=> -2(b^3)i - b^2 + 4(b^2)i + bi + 2b - 2i = 0
=> (-b^2 + 2b) + i*(-2b^3 + 4b^2 + b - 2) = 0
=> -b^2 + 2b = 0
=> b*(2 - b) = 0
=> b = 2

z0 = 2i est une solution de (E)

2.
Le polynôme de (E) est un polynôme de degré 3, z0 = 2i étant une racine du polynôme, il existe des réels a, b et c tels que
2z^3 + (1 - 4i)*z^2 + (1 - 2i)*z - 2i = (z - 2i)*(az^2 + bz + c)

On développe (z - 2i)*(az^2 + bz + c) ce qui nous donne
az^3 + bz^2 + cz - 2aiz^2 - 2biz - 2ci = 2z^3 + (1 - 4i)*z^2 + (1 - 2i)*z - 2i
=> (a)*z^3 + (b - 2ai)*z^2 + (c - 2bi)*z - (2ci) = (2)*z^3 + (1 - 4i)*z^2 + (1 - 2i)*z - (2i)

Par identification on a
a = 2
b - 2ai = 1 - 4i
c - 2bi = 1 - 2i
2ci = 2i
=>
a = 2
b = 1 - 4i + 2ai = 1 - 4i + 4i = 1
c = 1 - 2i + 2bi = 1 - 2i + 2i = 1

2z^3 + (1 - 4i)*z^2 + (1 - 2i)*z - 2i = (z - 2i)*(2z^2 + z + 1)

3.
On résout 2z^2 + z + 1 = 0
Calcul du discriminant : Delta = 1^2 - 4*2*1 = 1 - 8 = -7 < 0
Cette équation a deux solution complexes qu’on note z1 et z2
z1 = (-1 - i*racine(7))/(2*2) = (-1 - i*racine(7))/4
z2 = (-1 + i*racine(7))/(2*2) (-1 + i*racine(7))/4

Les solutions de (E) sont S = {z0, z1, z2}

Exercice II

1.
Z = r*exp(i*theta) avec r le module de Z et theta son argument
Z = exp(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)
1/Z = 1/(cos(theta) + i*sin(theta))

En multipliant par le conjugué de cos(theta) + i*sin(theta) on a
1/Z = (cos(theta) - i*sin(theta))/(cos(theta)^2 - (i*sin(theta))^2) = (cos(theta) - i*sin(theta))/(cos(theta)^2 + sin(theta)^2) = (cos(theta) - i*sin(theta))/1 = cos(theta) - i*sin(theta)

Donc, Z + 1/Z = cos(theta) + i*sin(theta) + cos(theta) - i*sin(theta) = 2*cos(theta) qui est un nombre réel

2.
(z + z’)^2 = z^2 + 2zz’ + z’^2
(z + z’)^2/(zz’) = z/z’ + 2 + z’/z

On note r le module de z et z’, theta l’argument de z et theta’ l’argument de z’

z/z’ = (r*exp(i*theta))/(r*exp(i*theta’)) = exp(i*theta)/exp(i*theta’) = exp(i*(theta - theta’)) = cos(theta - theta’) + i*sin(theta - theta’)

De la même manière, on a z’/z = cos(theta’ - theta) + i*sin(theta’ - theta)
Par parité de la fonction sin, sin(theta’ - theta) = -sin(theta - theta’)
Alors, z/z’ = cos(theta’ - theta) - i*sin(theta - theta’)

Finalement,
(z + z’)^2/(zz’) = cos(theta - theta’) + i*sin(theta - theta’) + cos(theta’ - theta) - i*sin(theta - theta’) + 2 = cos(theta - theta’) + cos(theta’ - theta) + 2 qui est un réel

Exercice III

Je vais noter z_ pour z barre ou conjugué de z

1.
Rappels : module(z)^2 = z*z_ et (z +z’)_ = z_ + z’_

module(z + z’)^2 = (z + z’)*(z + z’)_ = (z * z’)*(z_ + z’_) = zz_ + zz’_ + z’z_ + z’z’_

module(z - z’)^2 = (z - z’)*(z - z’)_ = (z - z’)*(z_ - z’_) = zz_ - zz’_ - z’z_ + z’z’_

Finalement,
module(z + z’)^2 + module (z - z’)^2 = 2zz_ + 2z’z’_ = 2*module(z)^2 + 2*module(z’)^2 = 2*(module(z)^2 + module(z’)^2)

2.
C’est l’identité du parallélogramme.

Soit z et z’ deux complexes.
Soit A un point situé au centre du repère, B un point d’affixe z, C un point d’affixe z + z’ et D un point d’affixe z’
La figure ABCD est un parallélogramme, avec pour longueurs AB = CD = module(z) et BC = AD = module(z’)
Les longueurs des diagonales sont AC = module(z + z’) et BD = module(z - z’)
D’après la question 1. on a
AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + BC^2) = 2*AB^2 + 2*BC^2 = AB^2 + CD^2 + BC^2 + AD^2

Géométriquement, cette inégalité permet de démontrer que la somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés des côtes d’un parallélogramme.

Géométriquement, cette inégalité permet de

Cette identité*

Merci beaucoup !

je n'ai rien à demander mais je salue l'initiative de l'op.
si tu avais une cagnotte, j'aurais participé.

bonsoir c'est ce dm merci d'avance

Le 05 décembre 2023 à 18:39:26 :
bonsoir c'est ce dm merci d'avance

Ok, je ferai ça plus tard dans la soirée ou demain soir

Ca me va