Et ça te divertit vraiment?

Le 19 janvier 2024 à 07:22:26 :

(Je note vAB pour vecteur AB et AB pour longueur AB)

Exercice 1

Question 1 (Réponse c.)

Un vecteur directeur de la représentation paramétrique c. est
vu’(4 ; -2 ; 2) = 2*vu(2 ; -1 ; 1)
Le vecteur de cette représentation paramétrique est colinéaire au vecteur vu(2 ; -1 ; 1)

On vérifie maintenant si le point A(1 ; - 1 ; -1) appartient à cette représentation, c’est à dire si il existe un réel t tel que le point M(x ; y ; z) en t est égal à A(1 ; -1 ; -1)
x = 5 + 4t = 1
<=> 4t = 1 - 5 = -4
<=> t = -4/4 = -1
y = -3 - 2t = -1
<=> -2t = - 1 + 3 = 2
<=> t = 2/-2 = -1
z = 1 + 2t = -1
<=> 2t = - 1 - 1 = -2
<=> t = -2/2 = -1
A(1 ; -1 ; -1) appartient à cette représentation paramétrique

Donc c’est une représentation paramétrique de D1

Question 2 (Réponse c.)

Un vecteur directeur de D2 est vu’(1 ; -1 ; -2)
Un vecteur normal de P est vn(2 ; 1 ; -1)
On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs :
vu’(1 ; -1 ; -2).vn(2 ; 1 ; -1) = 1*2 + (-1)*1 + (-2)*(-1) = 2 - 1 + 2 = 3 =/= 0
=> vu’(1 ; -1 ; -2) n’est pas orthogonal à vn(2 ; 1 ; -1)
=> La droite D2 et le plan P sont sécants.
=> La droite D2 n’est pas incluse dans le plan.

Le point E(x ; y ; z) est dans D2 et P
<=>
{x = 1 + t
{y = -3 - t
{z = 2 - 2t
{2x + y - z + 5 = 0
<=>
{x = 1 + t
{y = -3 - t
{z = 2 - 2t
{2*(1 + t) + (-3 - t) - (2 - 2t) + 5 = 0
<=>
{x = 1 + t
{y = -3 - t
{z = 2 - 2t
{2 + 2t - 3 - t - 2 + 2t + 5 = 0
<=>
{x = 1 + t
{y = -3 - t
{z = 2 - 2t
{2 + 3t = 0
<=>
{x = 1 + t
{y = -3 - t
{z = 2 - 2t
{t = -2/3
<=>
{x = 1 - 2/3 = 1/3
{y = -3 - (-2/3) = -3 + 2/3 = -7/3
{z = 2 - 2*(-2/3) = 2 + 4/3 = 10/3

La droite D2 et le plan P se coupent au point E(1/3 ; -7/3 ; 10/3)

Question 3 (Réponse d.)

Une équation du plan (ABC) est de la forme
ax + by + cz + d = 0
avec a,b,c et d des réels.

Les points A, B et C vérifient cette équation, on peut donc établir le système d’équations suivant :
{a*1 + b*(-1) + c*(-1) + d = 0
{a*1 + b*1 + c*1 + d = 0
{a*0 + b*3 + c*1 + d = 0
<=>
{a - b - c + d = 0
{a + b + c + d = 0
{3b + c + d = 0
<=> (addition de la première ligne avec la deuxième ligne)
{2a + 2d = 0
{a + b + c + d = 0
{3b + c + d = 0
<=>
{a = -d
{a + b + c + d = 0
{3b + c + d = 0
La plan (ABC) ayant une infinité d’équations qui sont proportionnelles, on peut fixer d = 1 pour trouver une équation
<=>
{a = -d
{a + b + c + d = 0
{3b + c + d = 0
{d = 1
<=>
{a = -1
{b + c = 0
{3b + c + 1 = 0
{d = 1
<=>
{a = -1
{b = -c
{3b + c + 1 = 0
{d = 1
<=>
{a = -1
{b = -c
{-2c + 1 = 0
{d = 1
<=>
{a = -1
{b = -c
{c = 1/2
{d = 1
<=>
{a = -1
{b = -1/2
{c = 1/2
{d = 1

-x - (1/2)*y + (1/2)*z + 1 = 0 est une équation du plan (ABC)

Un vecteur normal de P est vn(2 ; 1 ; -1)
Un vecteur normal de (ABC) est vn’(-1 ; -1/2 ; 1/2)
(-2)*vn’(-1 ; -1/2 ; 1/2) = vn(2 ; 1 ; -1)
vn(2 ; 1 ; -1) et vn’(-1 ; -1/2 ; 1/2) sont colinéaires donc les plans P et (ABC) sont strictement parallèles ou confondus.

Ces plans sont confondus si leurs équations sont proportionnelles. C’est à dire si il existe un réel k tel que k*(-1 ; -1/2 ; 1/2 ; 1) = (2 ; 1 ; -1 ; 5)
=> -k = 2 et k = 5
=> k = -2 et k = 5
Impossible
Donc ces plans ne peuvent pas être confondus, ils sont strictement parallèles.

EXERCICE 1

1.a.
Les coordonnées du premier sous-marin au début de l’observation sont les coordonnées au temps t = 0, c’est à dire le point S1(0).
S1(0)(x(0) ; y(0) ; z(0)) = S1(0)(140 ; 105 ; -170)
On note A(140 ; 105 ; -170) ce point.

1.b.
vitesse = distance/temps

S1(1)(x(1) ; y(1) ; z(1)) = S1(1)(140 - 60 ; 105 - 90 ; -170 - 30) = S1(1)(80 ; 15 ; -200)
On note B(80 ; 15 ; -200) ce point.
vAB(80 - 140 ; 15 - 105 ; -200 + 170) = vAB(-60 ; -90 ; -30)
La distance parcourue lors de la première minute est la norme de ce vecteur.
AB = racine((-60)² + (-90)² + (-30)²) = racine(3600 + 8100 + 900) = racine(900*(4 + 9 + 1)) = racine(900*14) = racine(900)*racine(14) = 30*racine(14) m

La vitesse du premier sous-marin étant constante on a alors
v = AB/1 = 30*racine(14)/1 = 30*racine(14) m/min

1.c.
On définit un plan (ABC) tel que ce plan contienne la trajectoire du premier sous-marin et qu’il soit vertical à cette trajectoire.

Pour que le plan (ABC) soit vertical à la trajectoire du premier sous-marin, on fixe un point C verticale à B ayant la même profondeur que A, c’est à dire un point C ayant la même abscisse et ordonnée que le point B et la même cote que le point A.
C(80 ; 15 ; -170)

Le triangle ABC est rectangle en C avec angle(CAB) = alpha
D’après les formules trigonométriques on a
sin(alpha) = BC/AB
vBC(80 - 80 ; 15 - 15 ; -170 - (-200)) = vBC(0 ; 0 ; 30)
BC = racine(0² + 0² + 30²) = racine(30²) = 30
sin(alpha) = 30/(30*racine(14)) = 1/racine(14)
=> alpha = arcsin(1/racine(14)) = 15,5° à 10^-1 près.

2.
Pour tout réel t >= 0, on note S2(t)(x2(t) ; y2(t) ; z2(t)) les coordonnées du second-sous marin à l’instant t.
La vitesse du second sous-marin étant constante, pour tout réel t >= 0, le point S2(t) a pour coordonnées :
{x2(t) = x2(0) + a*t
{y2(t) = y2(0) + b*t
{z2(t) = z2(0) + c*t
<=>
{x2(t) = 68 + a*t
{y2(t) = 135 + b*t
{z2(t) = -68 + c*t

On sait que S2(3)(x2(3) ; y2(3) ; z2(3)) = S2(3)(-202 ; -405 ; -248)
<=>
{68 + 3a = -202
{135 + 3b = -405
{-68 + 3c = -248
<=>
{a = (-202 - 68)/3 = -270/3 = -90
{b = (-405 - 135)/3 = -540/3 = -180
{c = (-248 + 68)/3 = -180/3 = -60
Donc pour tout réel t >= 0, le point S2(t) a pour coordonnées
{x2(t) = 69 - 90t
{y2(t) = 135 - 180t
{z2(t) = -68 - 60t

Les deux sous-marins ont la même profondeur lorsque z(t) = z2(t)
<=> -170 - 30t = -68 - 60t
<=> 30t = 102
<=> t = 102/30 = 3,4 min

C’est juste une question par rapport à la question 4. , je comprends pas vraiment comment on est sensés utiliser « en écrivant que les vecteurs OM et OP sont colinéaires »

Du coup j’ai fait ça, c’est pas tout à fait vers quoi on est guidé il me semble, mais je me demandais également si la partie avec l’accolade est vraiment rigoureuse ou pas

Le 20 janvier 2024 à 14:31:14 :
C’est juste une question par rapport à la question 4. , je comprends pas vraiment comment on est sensés utiliser « en écrivant que les vecteurs OM et OP sont colinéaires »

Du coup j’ai fait ça, c’est pas tout à fait vers quoi on est guidé il me semble, mais je me demandais également si la partie avec l’accolade est vraiment rigoureuse ou pas

Tu as utilisé la colinéarité OM et OP lorsque tu as écrit MO = OP
Par définition, les vecteurs OM et OP sont colinéaires si il existe un réel k non nul tel que OP = OM
Or ici, il est évident que O est le milieu du segment [MP] car O est le centre du parallélogramme ABCD et que M est un point de la droite (AD) et P un point de la droite (BC)
Donc OP = (-1)*OM (colinéarité entre OP et OM)
Et comme -OM = MO, OP = MO

Pour revenir à ce que tu as écrit, ce qui me dérange c'est le d(O ; (AD)) = d(O ; (BC))
Ici tu calcules la distance entre un point et une droite, je ne sais pas si tu as vu ça quelque part mais pour moi ça n'a pas de sens, tu peux par contre calculer la distance entre deux points et donc écrire plutôt d(O ; M) = d(O : P)
Mais ce n'est pas nécessaire car je pense que c'est évident que OM et OP sont colinéaires.

Par définition, les vecteurs OM et OP sont colinéaires si il existe un réel k non nul tel que OP = OM

tel que OP = k*OM

Le 20 janvier 2024 à 20:40:49 :

Le 20 janvier 2024 à 14:31:14 :
C’est juste une question par rapport à la question 4. , je comprends pas vraiment comment on est sensés utiliser « en écrivant que les vecteurs OM et OP sont colinéaires »

Du coup j’ai fait ça, c’est pas tout à fait vers quoi on est guidé il me semble, mais je me demandais également si la partie avec l’accolade est vraiment rigoureuse ou pas

Tu as utilisé la colinéarité OM et OP lorsque tu as écrit MO = OP
Par définition, les vecteurs OM et OP sont colinéaires si il existe un réel k non nul tel que OP = OM
Or ici, il est évident que O est le milieu du segment [MP] car O est le centre du parallélogramme ABCD et que M est un point de la droite (AD) et P un point de la droite (BC)
Donc OP = (-1)*OM (colinéarité entre OP et OM)
Et comme -OM = MO, OP = MO

J’avais l’impression d’avoir pas tout à fait bien répondu à la question d’après l’énoncé, mais si tu penses que ça reviens au même merci beaucoup alors

Pour revenir à ce que tu as écrit, ce qui me dérange c'est le d(O ; (AD)) = d(O ; (BC))
Ici tu calcules la distance entre un point et une droite, je ne sais pas si tu as vu ça quelque part mais pour moi ça n'a pas de sens, tu peux par contre calculer la distance entre deux points et donc écrire plutôt d(O ; M) = d(O : P)

On a défini et démontré dans le cours à un moment la distance d(A;D) avec A(xA;yA) et D: ax+by+c comme la longueur entre A et son projeté orthogonal sur D de formule d(A,D) comme la valeur absolue de axA+byA+c sur la racine carré de a^2+b^2.
Après, d’après la formulation d(A;D), par extension ça désigne de quelque manière tous les points de la droite pour moi si on donne pas de valeur précise, mais justement je suis pas très sûre que ce soit correcte comme manière d’écrire, et on l’a que peut abordé

Mais ce n'est pas nécessaire car je pense que c'est évident que OM et OP sont colinéaires.

Oui, cependant mon prof risquait de ne pas accepter « y=1-t parce que c’est évident, cqfd »

Merci beaucoup à toi en tout cas

On a défini et démontré dans le cours à un moment la distance d(A;D) avec A(xA;yA) et D: ax+by+c comme la longueur entre A et son projeté orthogonal sur D de formule d(A,D) comme la valeur absolue de axA+byA+c sur la racine carré de a^2+b^2.

Effectivement j'aurais dû penser à ça. Ça a du sens du coup.

Le 20 janvier 2024 à 16:05:01 :

EF = EA + AF
EF = -AE + AF
EF = -(1/2)*AB - BC + (3/2)*AC + BA
EF = -(1/2)*AB - BC + (3/2)*AC - AB
EF = -(3/2)*AB - BC + (3/2)*AC
EF = (3/2)*(-AB + AC) - BC
EF = (3/2)*(BA + AC) - BC
EF = (3/2)*BC - BC
EF = (1/2)*BC

Les vecteurs EF et BC sont colinéaires par conséquent les droites (EF) et (BC) sont parallèles

Bonjour je suis en 3eme
J'ai l'exercice 2 a faire
Merci mec
Je dois le rendre demain

Le 25 janvier 2024 à 18:20:29 :
Bonjour je suis en 3eme
J'ai l'exercice 2 a faire
Merci mec
Je dois le rendre demain

Exercice 2

1)
Les points ACE sont alignés
Les points BCD sont alignés
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles
D’après le théorème de Thalès
DE/AB = CD/BC
DE/400 = 700/500
DE = 400*700/500
DE = 560 m

2)
BC est l’hypoténuse du triangle ABC
BC² = 500² = 250000
AB² + AC² = 400² + 300² = 160000 + 90000 = 250000
AB² + AC² = BC²
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A

3)
ABC étant un triangle rectangle on peut appliquer la formule trigonométrique
cos(ABC) = AB/BC
cos(ABC) = 400/500
cos(ABC) = 4/5
ABC = arccos(4/5) = 39° arrondi à l’unité près

4)a)
5*2880 = 14400 m

4b)
vitesse = distance/temps

distance = 14400 m = 14,4 km

48 min = 48/60 h = 0,8 h
temps = 1 + 0,8 = 1,8 h

vitesse = 14,4/1,8 = 8 km/h

Le 26 janvier 2024 à 17:43:12 :

1.
g(a) = 2/(a + 1)
g(a + h) = 2/(a + h + 1)
g(a + h) - g(a) = 2/(a + h + 1) - 2/(a + 1) = 2*(a + 1)/((a + h + 1)*(a + 1)) - 2*(a + h + 1)/((a + 1 + h)*(a + 1)) = (2*(a + 1) - 2*(a + h + 1))/((a + 1)*(a + 1 + h)) = 2*(a + 1 - a - h - 1)/((a + 1)*(a + 1 + h)) = -2h/((a + 1)*(a + 1 + h))

ta(h) = (g(a + h) - g(a))/h = -2h/((a + 1)*(a + 1 + h)*h) = -2/((a + 1)*(a + 1 + h))

2.
Pour tout réel a > -1, lim h->0 ta(h) = -2/((a + 1)*(a + 1 + 0)) = -2/((a + 1)*(a+1)) = -2/(a + 1)² est un réel qui vaut ta(0)
Donc g est dérivable en tout réel a > -1 avec g’(a) = ta(0) = -2/(a + 1)²

3.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 0 est g’(0) = -2/(0 + 1)² = -2/1² = -2/1 = -2
Cette tangente à le même coefficient directeur que la droite d’équation y = -2x + 5 donc elles sont parallèles.

Le meilleur topax du forum

Le 26 janvier 2024 à 18:37:53 :
Le meilleur topax du forum

Le point négatif est que vous vous bougez pas et vous restez des plus ou moins merdes en maths

[18:41:44] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:37:53 :
Le meilleur topax du forum

Le point négatif est que vous vous bougez pas et vous restez des plus ou moins merdes en maths

C'est de l'aide + j'aurais pas math l'année prochaine

Le 26 janvier 2024 à 18:47:30 :

[18:41:44] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:37:53 :
Le meilleur topax du forum

Le point négatif est que vous vous bougez pas et vous restez des plus ou moins merdes en maths

C'est de l'aide + j'aurais pas math l'année prochaine

Vous comprenez ce que vous rendez après au moins?
Et les maths c'est pas que un ramassis de règle obscures à assembler en puzzle, ça t'apprend une manière de réfléchir, et les Cailloux en ont bien besoin

[19:01:42] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:47:30 :

[18:41:44] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:37:53 :
Le meilleur topax du forum

Le point négatif est que vous vous bougez pas et vous restez des plus ou moins merdes en maths

C'est de l'aide + j'aurais pas math l'année prochaine

Vous comprenez ce que vous rendez après au moins?
Et les maths c'est pas que un ramassis de règle obscures à assembler en puzzle, ça t'apprend une manière de réfléchir, et les Cailloux en ont bien besoin

Bah oui je comprends et su je comprends pas je mp l'op

Le 26 janvier 2024 à 19:04:43 :

[19:01:42] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:47:30 :

[18:41:44] <RadisBleu>

Le 26 janvier 2024 à 18:37:53 :
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Le point négatif est que vous vous bougez pas et vous restez des plus ou moins merdes en maths

C'est de l'aide + j'aurais pas math l'année prochaine

Vous comprenez ce que vous rendez après au moins?
Et les maths c'est pas que un ramassis de règle obscures à assembler en puzzle, ça t'apprend une manière de réfléchir, et les Cailloux en ont bien besoin

Bah oui je comprends et su je comprends pas je mp l'op

Tant mieux alors
Cependant étant donné que la plupart du temps c'est pas d'un niveau incroyable, ça devrait avec un cerveau normal pas prendre plus de temps d'écrire soi même directement que de recopier ce qu'écrit l'op