« Soit les mathématiques sont incomplètes en ce sens, c’est-à-dire que l’esprit humain (même dans le domaine des mathématiques pures) dépasse infiniment les pouvoirs de toute machine finie, soit il existe des problèmes diophantiens absolument insolubles du type précisé. [...] Les implications philosophiques sont de prime abord disjonctives ; toutefois, dans les deux cas, elles s'opposent très nettement à la philosophie matérialiste. En effet, si la première alternative est vraie, cela semble impliquer que le fonctionnement de l'esprit humain ne peut se réduire au fonctionnement du cerveau, qui, à tous égards, est une machine finie [...] En revanche, la seconde alternative, dans laquelle il existe des propositions mathématiques absolument indécidables, semble réfuter l'idée que les mathématiques soient une simple création humaine ; car un créateur connaît nécessairement toutes les propriétés de ses créatures, lesquelles ne peuvent en avoir d'autres que celles qu'il leur a attribuées. »

Kurt Gödel, “Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications”, dans: Gödel, 1996, p. 310 et 311.

Avis et/ou objections face à ce dilemme ?

Pas le forum maths ici, va falloir traduire un minimum, surtout que certaines parties de la citation ont l'air de faire référence à d'autres parties non citées

La dernière phrase est fausse ceci dit. Rien n'indique qu'un créateur connaisse nécessairement toutes les propriétés de ses créatures.

Le 04 novembre 2024 à 21:31:31 :
Pas le forum maths ici, va falloir traduire un minimum, surtout que certaines parties de la citation ont l'air de faire référence à d'autres parties non citées

La dernière phrase est fausse ceci dit. Rien n'indique qu'un créateur connaisse nécessairement toutes les propriétés de ses créatures.

théorèmes d'incomplétude : résultats mathématiques montrant qu'un système formel suffisamment puissant ne peut être à la fois cohérent (ne pouvant démontrer par une suite de formules plus ou moins longue une contradiction) et complet (disposant d'une preuve de la vériré ou de la fausseté pour toutes les formules bien-formées).

problèmes diophantiens : problème mathématique dont on cherche une solution.

indécidables : propositions mathématiques dont on ne peut démontrer ni la vérité ni la fausseté dans un système formel donné.

disjonctive : qui présente une alternative entre deux possibilités mutuellement exclusives (le dilemme ici).

Mais du coup, mettons que je t'accorde qu'un créateur peut ignorer une partie de l'ensemble des propriétés de sa création ; concernant les objets mathématiques, il faut bien que je connaisse toutes leurs propriétés dans mon esprit, si je les crée consciemment (à moins que je ne les crée inconsciemment, mais auquel cas l'exercice mathématique se ferait dans l'inconscient...). Il existe des constructions mentales qui ne peuvent être entièrement connues par l'esprit qui les conçoit ?

Je ne m'y connais rien en maths.

Nul n'entre ici s'il n'est géomètre disait l'autre. Donc à mon avis il est tout a fait logique que je sois toujours une bite en philosophie.

Ceci dit, une formule mathématique pourrait peut-être servir à autre chose que ce pour quoi elle a été conçue au départ, et que cette découverte pourrait être attribuée à une autre personne que le créateur lui-même car il n'a pas pensé toutes les applications possibles.

Je comprends pas vraiment la logique derrière le premier "soit soit"

Soit l'esprit humain dépasse infiniment toute machine finie, soit certains problèmes maths sont insolubles ? Pourquoi ces deux alternatives ? Où est la logique ?

"En effet, si la première alternative est vraie, cela semble impliquer que le fonctionnement de l'esprit humain ne peut se réduire au fonctionnement du cerveau, qui, à tous égards, est une machine finie"

Si "l'esprit humain dépasse infiniment toute machine finie" alors "l'esprit humain ne peut se réduire au fonctionnement du cerveau" ? Pourquoi pas ?

On parle de quel esprit humain ici ? à travers les hommes et à travers l'histoire, l'esprit humain comme une généralité, ou bien celui d'un individu donné dans un temps donné ? Parce que si on essaye de comparer "l'esprit humain" comme terme général désignant des milliards d'esprits à travers des millions d'années, on n'a aucune raison derrière de qualifier le cerveau de "machine finie". Il n'y a rien de fini dans des cerveaux qui continuent à se reproduire et à évoluer. J'ai un peu l'impression que le cerveau est en train de se faire arnaquer dans cette réflexion, il est réduit à l'individualité sans raison alors que "l'esprit" ne l'est pas, on a une différence d'échelle.

Mais du coup, mettons que je t'accorde qu'un créateur peut ignorer une partie de l'ensemble des propriétés de sa création ; concernant les objets mathématiques, il faut bien que je connaisse toutes leurs propriétés dans mon esprit, si je les crée consciemment

En quel honneur ? Tu affirmes que ceux qui ont crée les premiers objets mathématiques en connaissaient toutes les propriétés pourtant découvertes ultérieurement ?

Il existe des constructions mentales qui ne peuvent être entièrement connues par l'esprit qui les conçoit ?

Evidemment, en fait c'est même plus probable qu'il n'existe aucune construction mentale entièrement connue, dans ses implications, par l'esprit qui la conçoit

Le 04 novembre 2024 à 22:20:09 :
Je comprends pas vraiment la logique derrière le premier "soit soit"

Soit l'esprit humain dépasse infiniment toute machine finie, soit certains problèmes maths sont insolubles ? Pourquoi ces deux alternatives ? Où est la logique ?

Eh bien, j'imagine que ce sont les deux seules que Gödel relève ici. Tu en vois d'autres ? Je pense qu'on peut comprendre cette disjonction ainsi : soit l'esprit humain est capable de concevoir et d'intuiter la vérité d'énoncés syntaxiquement indécidables (c'est-à-dire qu'on est capable, par exemple, d'avoir l'intuition de la cohérence de l'arithmétique sans pouvoir le démontrer) - le cas échéant notre esprit (il l'appelle aussi l'intellect, en reprenant la notion directement d'Aristote) est capabe de faire plus que ce que permet la pure analyse, ce que ne peuvent pas faire les machines. Soit les mathématiques sont indépendantes de l'esprit, puisqu'on n'a pas une connaissance exhaustive des propriétés des objets mathématiques, alors même qu'on est censés les créer.
Gödel défend que l'intellect est indépendant du cerveau, qu'il transcende a finitude.
La disjonction offre deux solutions possibles qui gênent les conclusions matérialistes/physicalistes/réductionnistes : soit l'irréductibilité de l'esprit aux processus computationnels, soit le platonisme mathématique (idéalisme/existence d'objets non physiques en dehors de l'esprit).

Si "l'esprit humain dépasse infiniment toute machine finie" alors "l'esprit humain ne peut se réduire au fonctionnement du cerveau" ? Pourquoi pas ?
On parle de quel esprit humain ici ? à travers les hommes et à travers l'histoire, l'esprit humain comme une généralité, ou bien celui d'un individu donné dans un temps donné ? Parce que si on essaye de comparer "l'esprit humain" comme terme général désignant des milliards d'esprits à travers des millions d'années, on n'a aucune raison derrière de qualifier le cerveau de "machine finie". Il n'y a rien de fini dans des cerveaux qui continuent à se reproduire et à évoluer. J'ai un peu l'impression que le cerveau est en train de se faire arnaquer dans cette réflexion, il est réduit à l'individualité sans raison alors que "l'esprit" ne l'est pas, on a une différence d'échelle.

Je pense qu'il est juste question de l'intellect des hommes en général, pas de "l'esprit humain" à travers l'histoire. Gödel doit faire un micmac de toutes les facultés "mentales" des êtres humains (conscience, intuition, entendement, imagination, tout ça).

En quel honneur ? Tu affirmes que ceux qui ont crée les premiers objets mathématiques en connaissaient toutes les propriétés pourtant découvertes ultérieurement ?

Bah, si on suppose que le "1"/"un", le "2"/"deux", etc. ont été la création intentionnelle et consciente de leurs créateurs, alors oui, les propriétés de ces nombres doivent être connus de leur créateur à mon sens. Si les propriétés de ces objets doivent être élucidés, cela suppose : ou bien que l'acte de création de ces objets est inconscient, donc l'inconscient a déterminé des propriétés de ces objets mathématiques ; ou bien les objets mathématiques sont donnés à l'esprit/intellect humain par intuition, mais demeurent indépendants et irréductibles à lui.
J'ai du mal à concevoir que mon inconscient ait déterminé des propriétés sur des objets mathématiques.
Après, on peut aussi imaginer que l'inconscient détermine des propriétés d'objets mathématiques, puis on élucide leurs propriétés de façon consciente, ce qui nous donne le sentiment de leur indépendance vis à vis de "nous" (le "nous" qui est conscient).

Evidemment, en fait c'est même plus probable qu'il n'existe aucune construction mentale entièrement connue, dans ses implications, par l'esprit qui la conçoit

Admettons que là je conçoive dans mon esprit un connecteur logique que j'appelle tonk. Je détermine que tonk dispose des règles suivantes :
Je dispose d'une proposition P quelconque. A partir des règles de "tonk", et à partir de P, je suis en droit d'inférer P tonk Q, c'est à dire que je peux supposer une proposition Q à partir de P via "tonk". Maintenant supposons qu'à partir de P tonk Q, je suis en droit d'inférer directement Q. Cet objet intentionnel a été entièrement et consciemment déterminé par mon intellect (pas vraiment par mon intellect à moi, vu que j'ai emprunté l'exemple à Arthur Prior), et j'en connais entièrement les propriétés puique ce sont précisément celles que j'ai déterminées.
Je sais aussi que "tonk" permet d'inférer un peu tout n'importe quoi à partir d'une proposition P random comme "Il fait jour".
Je sais donc : tout de ses propriétés, ses règles d'introduction & d'élimination, et ses conséquences déductives (trivialisme/ex falso quodlibet).
Est-ce que je ne viens pas de montrer que je pouvais intentionnellement construire un objet mental, dont aucune des propriétés ne m'échappe ?

Ca me semble assez différent par exemple d'un ensemble, où j'ai en fait l'intuition de base que je peux regrouper des objets par groupes/espèces et ensuite découvrir d'autres propriétés concernant ces regroupements/ensembles/classes. Là, ce sont des propriétés que j'élucide, mais pas que je détermine (par exemple qu'un ensemble est identique quelque soit l'ordre de ses éléments).
Mais du coup il me faudrait un exemple de constructions mentales intentionnelles dont les propriétés échappent à l'esprit/intellect.

Je suis archi nul en math et j'ai un français tout aussi nul, un vocabulaire simpliste dû à mon manque d'étude.

Tu parles d'une règle [tonk] (logique) qui te permet de faire une simple déduction [Q] suite à une proposition aléatoire [P], car la règle [tonk] (logique) te permet d'introduire tout et n'importe quoi comme proposition [P]. Ta construction mentale serait alors [P tonk Q].

C'est bien ça? Si j'ai bien compris l'idée, ta construction mentale je la met en pratique tous les jours depuis que je sais parler…

Mais du coup il me faudrait un exemple de constructions mentales intentionnelles dont les propriétés échappent à l'esprit/intellect.

Je n'en vois pas vraiment, la folie peut-être mais ce n'est que très rarement intentionnel. (ça m'est arrivé une fois alors que j'avais délibérément arrêté de prendre mes médicaments. J'avais construit tout un scénario je l'explique ici: https://www.jeuxvideo.com/forums/42-68-74984292-1-0-1-0-realite-et-perceptions-ma-folie.htm

Mais je doute que ça concorde avec ce que tu recherches… J'étais quand même inconsciemment devenu paranoïaque sans que je ne puisse vraiment le comprendre. Je savais pourquoi j'avais peur, je connaissais mes craintes, mais j'ignorais pourquoi ça m'affectait autant et pourquoi ce que je considérais comme un doute était devenu une certitude à mes yeux. Car même si ma construction mental était complètement intentionnelle, basée sur des idées farfelues que j'ai entretenu en fonction de la religion, de la science fiction etc.), ma logique me semblait toujours intacte (un fou ne sait pas qu'il est fou parce que sa folie fait du sens à ses yeux). Je m'étais construit toute une réalité parallèle…

Le pauvre a juste rien compris au matérialisme
C'est pas le matérialisme qu'il attaque là
Mais juste une pauvre représentation idéaliste qu'il se fait du matérialisme
Le plus drôle là dedans étant "le cerveau est une machine finie"

Le 05 novembre 2024 à 09:56:48 :
Le pauvre a juste rien compris au matérialisme
C'est pas le matérialisme qu'il attaque là
Mais juste une pauvre représentation idéaliste qu'il se fait du matérialisme
Le plus drôle là dedans étant "le cerveau est une machine finie"

M'bah, pourquoi c'est drôle ?