Parce que dans le début du 3 on entend justement le vizir faire son récit.
Il dit qu'il est allé sur l'île, qu'il a trouvé la dague et le sablier vide. Il dit qu'il a fait des recherche et qu'il a entendu parlé d'une impératrice, et que comme par hasard le prince de Perse c'est absenté pendant une longue période pour aller "il ne sais où", tout en se doutant qu'il est allé sur l'île.
Donc il va à Babylone, fait la guerre (comme on peut le voir à la fin du 2).
À leur arrivée, le prince et l'impératrice se font attaqué (tandis qu'ils sont sur leur navire), l'impératrice se fait enlever par les garde du vizir, le prince les pourchasse.
Il arrive enfin à la retrouver avec le vizir. Puis le vizir poignarde l'impératrice, ce qui libère les sables à nouveau.
Pour comprendre le fait que le vizir soit toujours en vie malgré la fin du 1, il faut comprendre le 2. Grosso modo, en remontant le temps et en empêchant la création des sables, le prince a fait en sorte que toute l'histoire du 1, y compris le fait qu'il tue le vizir à la fin, n'a jamais existé. Il n'a jamais raconté Farah également. Il n'a jamais eu la dague en sa possession et n'a jamais rencontrer le vizir. Là aussi , le prince fait un discours dans le 3 pour expliquer au mieux la situation.
Après c'est vrai que ça peut être compliquer à concevoir, mais les discours qui son fait dans le 3 aident mieux à comprendre.
Voilà j'espère que cette explication t'aura aider